Repost: Uji Kolmogorov-Smirnov

Tes satu sampel Kolmogorov-Smirnov

1.      Fungsi dan dasar pemikiran.

Tes satu sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu tes Goodness of-fit. Artinya yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara distribusi serangkaian harga sampel (skor yang di observasi) dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Tes ini menetapkan apakah skor dalam sampel dapat secara masuk akal dianggap berasal dari suatu populais dengan distribusi teoritis itu.

Singkatnya, tes ini mencakup perhitungan distribusi frekuensi komulatif yang akan terjadi di bawah distribusi teoritisnya, serta membandingkan distribusi frekuensi itu dengan distribusi frekuensi komulatif hasil observasi. Distribusi teoritis tersebut merupakan representasi dari apa yang diharapkan dibawah H_0. Tes ini menetapkan suatu titik dimana kedua  distribusi itu memiliki perbedaan terbesar. Dengan melihat distribusi samplingnya dapat diketahui apakah perbedaan yang besar itu mungkin terjadi hanya karena kebetulan saja. Artinya distribusi sampling itu menunjukkan apakah perbedaan besar yang diamati itu mungkin terjadi apabila observasi-observasi itu benar-benar suatu sampel random dari distribusi teoritis itu.

2.      Metode.

Mislkan F₀ (X)=suatu fungsi distribusi komulatif yang sepenuhnya ditentukan, yakni distribusi komulatif teoritis dibawah H_0. Artinya, untuk haarga N yang sembarang besarnya harga F₀ (X) adalah proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor yang sama atau kurang dari X.

Misalkan S_N (X) =Distribusi frekuensi komulatif yang diobservasi dari suatu sampel random dengan N observasi . Dimana X adalah sembarang skor yang mungkin , S_N (X)=k/N dimana k sama dengan banyak observasi yang sama atau kurang dari X.

Dibawah hipotesis nol bahwa sampel itu telah ditarik dari distribusi teoritis tertentu, maka diharapka bahwa untuk setiap harga X,  S_N (X) harus jelas mendekati F₀ (X) adalah kecil, dan ada dalam batas-batas kesalahan random. Tes Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan (deviasi) terbesar. Harga F₀ (X) - S_N (X) terbesar disebut standar deviasi maksimum.

D=Maksimum | F₀ (X) - S_N (X)|

Distribusi sampling D dibawah H₀ diketahui. Tabel E pada lampiran memberikan harga-harga kritis tertentu distribusi sampling itu. Perhatikanlah bahwa signifikansi suatu harga D tertentu adalah bergantung pada N. 

Sebagai contoh misalkan kita temukan dengan pengunaan rumus dengan (4.6) bahwa D=9.325 bila N=15. TAbel E menunjukkan bahwa D≥0.325 memiliki kemungkinan akan terjadi (2 sisi) antara p=0.10 dan 0.05.

3.      Ringkasan prosedur  dan contoh.

a.      Tetapkan fungsi teoritisnya yakni distribusi komulatif yang diharapkan dibawah H₀ .

b.      Aturlah skor-skor yang diobservasi dalam suatu distribusi komulatif dengan memasangkan setiap interval F₀ (X)yang sebanding.

c.       Untuk tiap-tiap jenjang pada distribusi komulatif kurangilah F₀ (X) denganS_N(X).

d.      Dengan memakai rumus carilah D.

e.      Lihatlah tabel E untuk menemukan kemungkinan (2 sisi) yang dikaitkan dengan munculnya harga-harga sebesar harga D observasi dibawah H_0. Jika p sama atau kurang dari α, tolaklah H_0.

Atau secara sederhana, dapat dirumuskan sebagai berikut:

•      Hipotesis :

            H₀ : data mengikuti distribusi yang ditetapkan

            H₁: data tidak mengikuti distribusi yang ditetapkan

•      Menentukan taraf Signifikansi

•      Statistik Uji:

            D=Maksimum | Fo(x)- S_N(x)|

•      Kriteria Keputusan:

            H₀ diterima jika D_hit ≤ D α

            H₀ ditolak jika D_hit ≥ D α

Contoh Soal :

Seorang ahli pembuat kue ingin menguji apakah ada kecenderungan selera terhadap kadar gula campuran kuenya.dia membuat 8 macam campuran kue yang berbeda kadar gulanya.Campuran kue A mempunyai kadar gula yang paling rendah.Kemudian kue H yang paling tinggi kadar gulanya.Kemudian dia mempersilahkan hasil olahannya untuk diuji oleh 16 orang penguji, kue mana yang paling disenangi.Hasil pengujian menunjukkan bahwa jumlah yang memilih kue adalah :

A=0, B=1, C=2, D=5, E=5, F=2, G=1, H=0

Apakah kadar gula mempengaruhi selera pilihan? Gunakan α = 5 % dan 1 %

Jawab:

-          Hipotesis

H₀: Kadar gula tidak mempengaruhi pilihan

H₁ : Kadar gula mempengaruhi pilihan

-          Taraf Signifikansi

α = 5 % dan 1 %

-          Statistik Uji

D_hit =Maksimum | F₀ (X) - S_N (X)|

-          Kriteria keputusan

Tolak H₀ jika  D_hit ≥ Dα

-          Perhitungan

Jenis Campuran	A	B	C	D	E	F	G	H
Banyak pemilih	0	1	2	5	5	2	1	0
F0 (X)	1/8	2/8	3/8	4/8	5/8	6/8	7/8	1
SN(X)	0	1/16	3/16	8/16	13/16	15/16	1	0
|F0 (X)- SN(X)|	0.125	0.1875	0.1875	0	0.1875	0.1875	0.125	0

-          Kesimpulan

Didapatkan D_hit =0.1875

Untuk α=5% maka Dα=0.457 sehingga H₀ diterima. (Kadar gula tidak mempengaruhi pilihan)

Untuk α=1% maka Dα=0.543 sehingga H₀ diterima. (Kadar gula tidak mempengaruhi pilihan)

4.      Kelebihan tes Kolmogorov-Smirnov

Tes suatu sampel kolmogorov-Smirnov memoerlihatkan dan menggarap suatu observasi terpisah dari yang lain. Dengan demikian, lain dengan tes χ² untuk satu sampel, tes kolmogorov-smirnov tidak perlu kehilangan informasi karena digabungnya kategori-kategori. Bila sampelnya kecil dan oleh karenanya kategori-kategori yang berhampiran harus digabungkan sebelum χ² dapat dihitung secara selayaknya, tes χ² jelas lebih kecil kekuatannya dibandingkan dengan tes kolmogorov-smirnov ini. Dan untuk sampel yang sangat kecil tes χ² sama sekali tidak dapat dijalankan, sedangkang tes kolmogorov-smirnov dapat. Fakta inin menunjukkan bahwa tes kolmogorov-smirnov mungkin lebih besar kekuatannya dalam semua kasus, jika dibandingkan dengan tes lainnya yakni tes χ²  

Daftar Pustaka

Siegel, Sidney.1997.Statistika Non-Parametrik Untuk Ilmu-Ilmu Sosial. Jakarta:Gramedia Pustaka Utama